每日一题[1217]论证与构造

设 $F(x)=|f(x)\cdot g(x)|$，$x\in[-1,1]$，其中 $f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=cx^2+bx+a$，且对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $|g(x)|\leqslant 1$，求 $F(x)$ 的最大值．

解    $2$．

根据题意，有

$$\begin{cases} g(-1)=c-b+a,\\ g(0)=a,\\ g(1)=c+b+a,\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases} a=g(0),\\ b=\dfrac 12g(1)-\dfrac 12g(-1),\\ c=\dfrac 12g(1)+\dfrac 12g(-1)-g(0),\end{cases}$$ 记 $p=g(1)$，$q=g(-1)$，$r=g(0)$，则 $$f(x)=rx^2+\left(\dfrac 12p-\dfrac 12q\right)x+\dfrac 12p+\dfrac 12q-r,$$ 即 $$f(x)=\dfrac 12p(1+x)+\dfrac 12q(1-x)+r(x^2-1),$$ 于是当 $x\in [-1,1]$ 时，有 $$\begin{split} |f(x)|&\leqslant |p|\cdot \left|\dfrac{1+x}2\right|+|q|\cdot \left|\dfrac{1-x}2\right|+|r|\cdot \left|x^2-1\right|\\ &\leqslant \left|\dfrac{1+x}2\right|+\left|\dfrac{1-x}2\right|+1\\ &\leqslant 2,\end{split}$$ 等号当且仅当 $$|p|=|q|=|r|=1,x=0$$ 时取得．因此 $$F(x)= |f(x)|\cdot |g(x)|\leqslant 2,$$ 又取 $(a,b,c)=(-1,0,2)$，则 $$\begin{split} f(x)&=-x^2+2,\\ g(x)&=2x^2-1,\end{split}$$ 此时 $F(0)=2$，因此所求最大值为 $2$．