每日一题[1210]引路明灯

已知 $a,b,c\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 且 $\cos a=a$，$\sin(\cos b)=b$，$\cos(\sin c)=c$，则 $a,b,c$ 中的最大数是_______；$a,b,c$ 中的最小数是_______．

解    $c$；$b$．

根据题意，$a$ 是函数 $y=\cos x$ 与直线 $y=x$ 的公共点 $A$ 的横坐标；$b$ 是 $y=\cos x$ 与 $y=\arcsin x$ 的公共点 $B$ 的横坐标．

由于

$$\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\arcsin x>x,$$ 于是 $b<a$，否则 $$\cos a=a\leqslant b<\arcsin b=\cos b,$$ 矛盾．又 $$\cos (\sin (\cos b))=\cos b,$$ 于是 $$c=\cos b>\cos a=a,$$ 因此 $$b<a<c.$$