每日一题[1210]引路明灯

已知 $a,b,c\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 且 $\cos a=a$,$\sin(\cos b)=b$,$\cos(\sin c)=c$,则 $a,b,c$ 中的最大数是_______;$a,b,c$ 中的最小数是_______.

    $c$;$b$.

根据题意,$a$ 是函数 $y=\cos x$ 与直线 $y=x$ 的公共点 $A$ 的横坐标;$b$ 是 $y=\cos x$ 与 $y=\arcsin x$ 的公共点 $B$ 的横坐标.

由于\[\forall x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right),\arcsin x>x,\]于是 $b<a$,否则\[\cos a=a\leqslant b<\arcsin b=\cos b,\]矛盾.又\[\cos (\sin (\cos b))=\cos b,\]于是\[c=\cos b>\cos a=a,\]因此\[b<a<c.\]

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