每日一题[1208]极值估计

已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x{\rm e}^x-a{\rm e}^{2x}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．

1、求实数 $a$ 的取值范围；

2、求证：$f(x_2)>-\dfrac 12$．

解    1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x\left(1+x-2a{\rm e}^x\right).$$ 函数 $f(x)$ 有两个极值点，于是函数 $f'(x)$ 有两个变号零点，设 $$\varphi(x)=1+x-2a{\rm e}^x,$$ 则其导函数 $$\varphi'(x)=1-2a{\rm e}^x.$$ [[case]]情形一[[/case]] $a\leqslant 0$．此时 $\varphi'(x)\geqslant 0$，于是 $\varphi(x)$ 单调递增，不可能有两个零点． [[case]]情形二[[/case]] $a>0$．此时 $$\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-\infty,-\ln(2a))&-\ln(2a)&(-\ln(2a),+\infty)\\ \hline \varphi'(x)&+&0&-\\ \hline \varphi(x)&\nearrow&-\ln(2a)&\searrow\\ \hline \end{array}$$ 注意到 $$\varphi(-1)=-2a{\rm e}^{-1}<0,$$ 且取 $x_1=\max\left\{1,\dfrac 2a\right\}$，有 $$\varphi(x)<1+x-2a\left(1+x+\dfrac 12x^2\right)\leqslant 2x-ax^2\leqslant 0,$$ 于是当 $-\ln (2a)>0$ 即 $0<a<\dfrac 12$ 时，函数 $\varphi(x)$ 有两个变号零点，符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$．

2、根据题意，有

$$1+x_2-2a{\rm e}^{x_2}=0$$ 且 $x_2>-\ln(2a)$．于是 $$a=\dfrac{1+x_2}{2{\rm e}^{x_2}},$$ 从而 $$f(x_2)=x_2{\rm e}^{x_2}-a{\rm e}^{2x_2}=\dfrac{(x_2-1){\rm e}^{x_2}}{2}.$$ 设 $$\mu(x)=\dfrac{(x-1){\rm e}^x}2,$$ 则其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{x{\rm e}^x}2,$$ 于是当 $x=0$ 时，$\mu(x)$ 取得极小值，亦为最小值 $$\mu(0)=-\dfrac 12,$$ 因此 $$f(x_2)>-\dfrac 12,$$ 原命题得证．