每日一题[1203]单点突破

已知 $f(x)=\left(x^3-ax\right)\ln\left(x^2+1-a\right)$，$x\in \mathbb R$．

1、若方程 $f(x)=0$ 有 $3$ 个实数解，求实数 $a$ 的取值范围；

2、在 $(1)$ 的条件下，是否存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恰有两个极值点 $x_1,x_2$ 且满足 $x_2=2x_1$，若存在，求实数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

解    1、由于函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，于是 $a<1$．此时

$$f(x)=x\cdot \left(x^2-a\right)\cdot \ln\left(x^2-a+1\right),$$ 于是 $a>0$ 且方程 $f(x)=0$ 的解集为 $\left\{-\sqrt a,0,\sqrt a\right\}$．因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$．

2、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2x^2\left(x^2-a\right)}{x^2-a+1}+\left(3x^2-a\right)\ln\left(x^2-a+1\right),$$ 于是 $x=\sqrt a$ 是函数 $f(x)$ 的一个极小值点．由于在区间 $\left(\sqrt a,1\right)$ 上，$f'(x)>0$，于是 $f(x)$ 在该区间内没有极值点．接下来证明 $x=\dfrac{\sqrt a}2$ 不是函数 $f(x)$ 的极值点．计算 $$f'\left(\dfrac{\sqrt a}2\right)=\dfrac 14a\left[\dfrac{6a}{3a-4}-\ln\left(1-\dfrac{3a}4\right)\right],$$ 而当 $0<a<1$ 时，有 $$\ln\left(1-\dfrac {3a}4\right)>1-\dfrac{1}{1-\dfrac{3a}4}=\dfrac{8-3a}{4-3a},$$ 于是 $$f'\left(\dfrac{\sqrt a}2\right)<\dfrac{3a^2}{4(3a-4)}<0,$$ 因此不存在符合题意的实数 $a$．