每日一题[1201]灵活卡位

已知递增数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正整数，且 $a_{a_n}=3n$，记 $b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}$，则数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为（       ）

A．$2^n+n$

B．$2^{n+1}-1$

C．$\dfrac{3^{n+1}-3n}2$

D．$\dfrac{3^{n+1}-3}2$

解    D．

根据题意，有

$$a_{a_1}=3,$$ 于是 $a_1\ne 1$，从而 $a_1\geqslant 2$，进而 $$a_n\geqslant n+1.$$ 若 $a_1\geqslant 3$，则 $$a_{a_1}\geqslant a_3\geqslant 4,$$ 矛盾，因此 $a_1=2$． 进而 $a_2=3$，$a_{a_2}=a_3=6$，$a_{a_3}=a_6=9$，注意到 $$\left\{a_3,a_4,a_5,a_6\right\}=\{6,7,8,9\},$$ 于是当 $3^1\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^1$ 时，有 $$a_n=n+3^1,$$ 进而 $$a_{a_6}=a_9=18,a_{a_9}=a_{18}=27,$$ 于是当 $3^2\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^2$ 时，有 $$a_n=n+3^2,$$ 依次类推，当 $3^k\leqslant n\leqslant 2\cdot 3^k$ 时，有 $$a_n=n+3^k.$$ 因此 $$b_n=a_{2\cdot 3^{n-1}}=2\cdot 3^{n-1}+3^{n-1}=3^n,$$ 其前 $n$ 项和 $$S_n=\dfrac{3^{n+1}-3}{2}.$$