每日一题[1187]抛物线的光学性质

已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=r^2$（$r>1$）．设 $A$ 为圆 $C$ 与 $x$ 轴负半轴的交点，过点 $A$ 作圆 $C$ 的弦 $AM$，并使弦 $AM$ 的中点恰好落在 $y$ 轴上．

1、求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

2、延长 $MC$ 交曲线 $E$ 于点 $N$，曲线 $E$ 在点 $N$ 处的切线与直线 $AM$ 交于点 $B$，试判断以 $B$ 为圆心，线段 $BC$ 长为半径的圆与直线 $MN$ 的位置关系，并证明你的结论．

解    1、根据题意，有 $A(1-r,0)$，于是 $M(x,y)$ 满足

$$\begin{cases} (1-r)+x=0,\\ (x-1)^2+y^2=r^2,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases} x=r-1,\\ y^2=4r-4,\end{cases}$$ 于是点 $M$ 的轨迹 $E:y^2=4x$．

2、如图．

由于 $CA=CM$，于是 $\angle CAM=\angle CMA$，根据抛物线的光学性质，直线 $AM$ 是抛物线 $E$ 的切线，于是 $MN$ 是点 $B$ 对抛物线 $E$ 的切点弦，设 $B(m,n)$，则

$$MN:ny=2(x+m),$$ 且 $C$ 在直线 $MN$ 上，因此 $m=-1$．而直线 $BC$ 的斜率 $$k=\dfrac{n-0}{m-1}=-\dfrac n2,$$ 因此 $BC\perp MN$，从而以 $B$ 为圆心，线段 $BC$ 长为半径的圆与直线 $MN$ 相切．