每日一题[1182]余弦“聚变”

已知$x$是锐角，求证：$\tan(\sin x)>\sin (\tan x)$．

解    设函数 $$f(x)=\tan (\sin x)-\sin(\tan x),$$ 则 $$f'(x)=\dfrac{\cos x}{\cos^2(\sin x)}-\dfrac{\cos(\tan x)}{\cos^2x}=\dfrac{\cos^3x-\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}{\cos^2(\sin x)\cos^2x}.$$

情形一    当 $x\in\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $\sin x,\tan x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．根据均值不等式以及余弦函数在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上上凸，于是 $$\sqrt[3]{\cos(\tan x)\cos^2(\sin x)}\leqslant \dfrac{\cos(\tan x)+2\cos(\sin x)}{3}\leqslant\cos\dfrac{\tan x+2\sin x}{3}.$$ 设函数 $$\varphi(x)=\tan x+2\sin x-3x,$$ 则其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}+2\cos x-3> 0,$$ 结合 $\varphi(0)=0$，因此在 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上有 $$\varphi(x)>\varphi(0)=0,$$ 因此在 $\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 上有 $$x<\dfrac{\tan x+2\sin x}3,$$ 因此在 $\left(0,\arctan\dfrac{\pi}2\right)$ 上有 $$f'(x)>0,$$ 结合 $f(0)=0$，可得命题成立．

情形二    当 $x\in\left[\arctan\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 时，有 $$\dfrac{\pi}4<\sqrt{\dfrac{\pi^2}{\pi^2+4}}\leqslant\sin\left(\arctan\dfrac{\pi}2\right)<\sin x<1,$$ 于是 $$1<\tan(\sin x)<\tan 1,$$ 进而 $f(x)>0$，命题成立． 综上所述，原命题得证．