每日一题[1174]均值代换

设实数 $x,y>0$ 且满足 $x+y=k$，则使得不等式 $\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)\geqslant\left(\dfrac k2+\dfrac2k\right)^2$ 恒成立的 $k$ 的最大值为_______．

解   记 $x=\dfrac k2+t$，$y=\dfrac k2-t$，其中 $t\in\left(-\dfrac k2,\dfrac k2\right)$，则题中不等式即 $$\left(\dfrac k2+t+\dfrac{1}{\dfrac k2+t}\right)\left(\dfrac k2-t+\dfrac{1}{\dfrac k2-t}\right)\geqslant \left(\dfrac k2+\dfrac 2k\right)^2,$$ 也即 $$\dfrac{t^2}{k^2\left(k^2-4t^2\right)}\cdot \left(-k^4+4k^2t^2+16k^2+16\right)\geqslant 0,$$ 也即 $$t^2\geqslant \dfrac{k^4-16k^2-16}{4k^2},$$ 根据题意，有 $$k^4-16k^2-16\leqslant 0,$$ 于是 $$k^2\leqslant 4\left(2+\sqrt 5\right),$$ 因此所求 $k$ 的最大值为 $2\sqrt{2+\sqrt 5}$．