每日一题[1176]避重就轻

设 $a,b$ 是正实数，且 $ab=1$，求证：$\left(a+2b+\dfrac2{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac2{b+1}\right)\geqslant 16$．

解    尝试用均值不等式处理分母

$$a+2b+\dfrac 2{a+1}=\dfrac{a+1}2+\dfrac{2}{a+1}+2b+\dfrac a2-\dfrac 12\geqslant \dfrac a2+2b+\dfrac 32,$$ 于是 $$\begin{split} LHS&\geqslant \left(\dfrac a2+2b+\dfrac 32\right)\left(2a+\dfrac b2+\dfrac 32\right)\\ &=a^2+b^2+\dfrac{15(a+b)}{4}+\dfrac{17ab}4+\dfrac 94\\ &=(a+b)^2+\dfrac{15(a+b)}4+\dfrac 92\\ &\geqslant 16,\end{split}$$ 等号当 $a=b=1$ 时取得，因此原命题得证．