每日一题[1183]化齐次

若正实数 $a,b$ 满足 $a+2b=2$，则 $\dfrac1{a^2}+\dfrac a{2b^2}$ 的最小值为_______．

解    根据题意有 $$\begin{split}\dfrac1{a^2}+\dfrac a{2b^2}&=\dfrac{(a+2b)^2}{4a^2}+\dfrac{a(a+2b)}{4b^2}\\ &=\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{4b^2}+\dfrac ba+\dfrac{a}{2b}+\dfrac 14\\ &=\left(\dfrac{b}a+\dfrac a{2b}+\dfrac 12\right)^2-1\\ &\geqslant \left(\sqrt 2+\dfrac 12\right)^2-1\\ &=\dfrac54+\sqrt2,\end{split}$$ 等号当 $a=\sqrt 2b$ 时取得，因此所求代数式的最小值为 $\dfrac 54+\sqrt 2$．

练习    已知正实数 $a,b$ 满足 $2a+b=1$，则 $4a^2+b^2+4\sqrt{ab}$ 的最大值为_______．

解    记题中代数式为 $m$，则\[ $$\begin{split} m&=\dfrac{4a^2+b^2}{(2a+b)^2}+\dfrac{4\sqrt{ab}}{2a+b}\\ &=1-\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2a+b}\right)^2+\dfrac{4\sqrt{ab}}{2a+b}\\ &=2-\left(\dfrac{2\sqrt{ab}}{2a+b}-1\right)^2\\ &=2-\left(\dfrac{2}{2\cdot \sqrt{\dfrac ab}+\sqrt{\dfrac ba}}-1\right)^2\\ &\leqslant 2-\left(\dfrac{2}{2\sqrt 2}-1\right)^2\\ &=\sqrt 2+\dfrac 12,\end{split}$$ \]等号当 $2a=b$ 时取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2+\dfrac 12$．