每日一题[1167]交错级数

设函数 $f_n(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^n}{n}-\ln (1+x),n\in\mathbb N^{\ast}$．

（1）判断 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内的单调性；

（2）求最大的整数 $\alpha$，使得 $|f_n(x)|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 对所有 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 及 $x\in (0,1)$ 都成立．

解    （1）函数 $f_n(x)$ 的导函数

$$\begin{split} f'_n(x)&=1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n+1}\cdot x^{n-1}-\dfrac{1}{1+x}\\ &=\dfrac{1-(-1)^{n+1}\cdot x^{n-1}\cdot (-x)}{1-(-x)}-\dfrac{1}{1+x}\\ &=(-1)^{n+1}\cdot \dfrac{x^n}{1+x},\end{split}$$ 因此当 $n$ 是奇数时，函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递增；当 $n$ 是偶数时，函数 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内单调递减．

（2）根据第 $(1)$ 小题的结果，函数 $|f_n(x)|$ 在 $(0,1)$ 内的取值范围是 $\left(0,f_n(1)\right)$．因此问题等价于

$$\forall n\in \mathbb N^{\ast},\left|1-\dfrac 12+\dfrac 13-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}-\ln 2\right|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}.$$ 若 $\alpha\geqslant 2$，取 $n=3$，则 $$\left|1-\dfrac 12+\dfrac 13-\ln 2\right|>\dfrac 19\geqslant \dfrac{1}{3^\alpha},$$ 不符合题意．接下来证明 $\alpha$ 可以取 $1$．根据第 $(1)$ 小题的结果，$f_n(x)$ 与 $f_{n+1}(x)$ 异号，又 $$\left|f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right|=\dfrac{x^{n+1}}{n},$$ 于是 $$\forall n\in \mathbb N^{\ast},\left|f_n(x)\right|<\dfrac{x_{n+1}}{n}<\dfrac 1n,$$ 因此 $\alpha=1$ 符合题意． 综上所述，最大的整数 $\alpha$ 为 $1$．