每日一题[1166]焦半径公式

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 $B,C$，且 $|BC|=|CF_2|$，则双曲线的离心率为_______．

解    根据题意，记 $\angle BF_1F_2=\theta$，则

$$\sin\theta=\dfrac ac,$$ 其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，为双曲线的半焦距．进而由双曲线的焦半径公式II和双曲线的定义，可得 $$|CF_1|-|BF_1|=|CF_1|-2a,$$ 即 $$\dfrac{b^2}{c\cos\theta+a}=2a,$$ 也即 $$\dfrac{b^2}{c\cdot \dfrac bc+a}=2a,$$ 解得 $$\dfrac ba=1+\sqrt 3,$$ 因此双曲线的离心率 $$e=\dfrac ca=\sqrt{1+\left(\dfrac ba\right)^2}=\sqrt{5+2\sqrt 3}.$$