每日一题[1154]深度挖掘

已知 $n$ 是一个不小于 $2$ 的正整数，$c$ 是实数，且对任意 $x_i\geqslant 0$（$i=1,2,\cdots,n$）均有

$$\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\leqslant c\cdot \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)^4.$$
（1）求实数 $c$ 的最小值；
（2）当 $c$ 取最小值时，指出等号成立的充要条件．

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分析与解（1）根据题意，不妨设

$$\sum_{i=1}^nx_i=1,$$ 则 $$\begin{split}M=&\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}x_ix_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\\=&\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n,i\ne j}x_i^3x_j\\=&\sum_{i=1}^n\left(x_i^3-x_i^4\right).\end{split}$$ 记 $$f(x)=x^3-x^4,$$ 则 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac 12\right]$ 上下凸，如图．

不妨设 $x_1\leqslant x_2\leqslant \cdots \leqslant x_n$．

情形一    若 $x_n>\dfrac 12$，则 $x_1,x_2,\cdots,x_{n-1} \in \left[0,1-x_n\right]$，而当 $x\in [0,1-x_n]$ 时，有

$$f(x)\leqslant \dfrac{(1-x_n)^3-(1-x_n)^4}{1-x_n}\cdot x,$$ 于是 $$\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\leqslant (1-x_n)^3-(1-x_n)^4,$$ 进而 $$\begin{split}\sum_{i=1}^nf(x_i)\leqslant &x_n^3-x_n^4+(1-x_n)^3-(1-x_n)^4\\=&\dfrac {1-(2x_n-1)^4}8\\<&\dfrac 18.\end{split}$$
情形二    若 $x_n\leqslant \dfrac 12$，则 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in\left[0,\dfrac 12\right]$，而当 $x\in\left[0,\dfrac 12\right]$ 时，有 $$f(x)\leqslant \dfrac 18x,$$ 因此 $$\sum_{i=1}^n\left(x_i^3-x_i^4\right)\leqslant \dfrac 18,$$ 等号当且仅当 $x_i\in\left\{0,\dfrac 12\right\}$，且 $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ 时取得．

综上所述，实数 $c$ 的最小值即代数式 $M$ 的最大值，为 $\dfrac 18$．

（2）根据第 $(1)$ 小题的结果，等号成立的充要条件是 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为 $2$ 个 $\dfrac S2$ 和 $n-2$ 个 $0$ 构成的排列，其中 $S=x_1+x_2+\cdots+x_n$．

注    $f(x)=x^3-x^4$在$\left[0,\dfrac 12\right]$下凸可以通过$\dfrac{f(x)}{x}=x^2-x^3$在$\left[0,\dfrac 12\right]$上单调递增得到．