每日一题[1154]深度挖掘

已知 n 是一个不小于 2 的正整数,c 是实数,且对任意 xi0i=1,2,,n)均有1i<jnxixj(x2i+x2j)c(ni=1xi)4.
(1)求实数 c 的最小值;
(2)当 c 取最小值时,指出等号成立的充要条件.


cover

分析与解(1)根据题意,不妨设ni=1xi=1,M=1i<jnxixj(x2i+x2j)=1i,jn,ijx3ixj=ni=1(x3ix4i).f(x)=x3x4,f(x) 在区间 [0,12] 上下凸,如图.

不妨设 x1x2xn

情形一    若 xn>12,则 x1,x2,,xn1[0,1xn],而当 x[0,1xn] 时,有f(x)(1xn)3(1xn)41xnx,于是n1i=1f(xi)(1xn)3(1xn)4,进而ni=1f(xi)x3nx4n+(1xn)3(1xn)4=1(2xn1)48<18.
情形二    若 xn12,则 x1,x2,,xn[0,12],而当 x[0,12] 时,有f(x)18x,因此ni=1(x3ix4i)18,等号当且仅当 xi{0,12},且 x1+x2++xn=1 时取得.

综上所述,实数 c 的最小值即代数式 M 的最大值,为 18

(2)根据第 (1) 小题的结果,等号成立的充要条件是 (x1,x2,,xn)2S2n20 构成的排列,其中 S=x1+x2++xn

注    f(x)=x3x4[0,12]下凸可以通过f(x)x=x2x3[0,12]上单调递增得到.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复