已知 n 是一个不小于 2 的正整数,c 是实数,且对任意 xi⩾0(i=1,2,⋯,n)均有∑1⩽i<j⩽nxixj(x2i+x2j)⩽c⋅(n∑i=1xi)4.
(1)求实数 c 的最小值;
(2)当 c 取最小值时,指出等号成立的充要条件.
分析与解(1)根据题意,不妨设n∑i=1xi=1,则M=∑1⩽i<j⩽nxixj(x2i+x2j)=∑1⩽i,j⩽n,i≠jx3ixj=n∑i=1(x3i−x4i).记f(x)=x3−x4,则 f(x) 在区间 [0,12] 上下凸,如图.
情形一 若 xn>12,则 x1,x2,⋯,xn−1∈[0,1−xn],而当 x∈[0,1−xn] 时,有f(x)⩽(1−xn)3−(1−xn)41−xn⋅x,于是n−1∑i=1f(xi)⩽(1−xn)3−(1−xn)4,进而n∑i=1f(xi)⩽x3n−x4n+(1−xn)3−(1−xn)4=1−(2xn−1)48<18.
情形二 若 xn⩽12,则 x1,x2,⋯,xn∈[0,12],而当 x∈[0,12] 时,有f(x)⩽18x,因此n∑i=1(x3i−x4i)⩽18,等号当且仅当 xi∈{0,12},且 x1+x2+⋯+xn=1 时取得.
综上所述,实数 c 的最小值即代数式 M 的最大值,为 18.
(2)根据第 (1) 小题的结果,等号成立的充要条件是 (x1,x2,⋯,xn) 为 2 个 S2 和 n−2 个 0 构成的排列,其中 S=x1+x2+⋯+xn.
注 f(x)=x3−x4在[0,12]下凸可以通过f(x)x=x2−x3在[0,12]上单调递增得到.