在锐角 △ABC 中,角 A,B,C 满足 1cosA+1cosB=2cosC,则 cosC 的最大值是________.
正确答案是12.
分析与解 法一 不妨设 A⩽B,于是根据题意,可设(A,B)=(π−C−x2,π−C+x2),
其中 0⩽x<C.此时条件转化为存在 x,C 满足 0⩽x<C<π2,有1sinC+x2+1sinC−x2=2cosC.
该方程即cos2x2−sinC2cosC⋅cosx2−cos2C2=0.
根据题意,关于 t 的方程t2−sinC2cosC⋅t−cos2C2=0
在 (cosC2,1] 上有实数解,因此只需要(t2−sinC2cosC⋅t−cos2C2)|t=1⩾0,
也即sinC2−cosC⩾0,
因此可得 C 的取值范围是 [π3,π2),进而所求的最大值为 12.
注 直接积化和差也可以.
法二 由均值不等式可得2cosC⩾4cosA+cosB=42cosA+B2cosA−B2⩾2sinC2,
于是sinC2⩾cosC,
进而 C⩾π3,因此 cosC 的最大值为 12,当 A=B=C=π3 时取得.