每日一题[1151]三角恒等式的化简

在锐角 ABC 中,角 A,B,C 满足 1cosA+1cosB=2cosC,则 cosC 的最大值是________.


正确答案是12

分析与解    法一    不妨设 AB,于是根据题意,可设(A,B)=(πCx2,πC+x2),

其中 0x<C.此时条件转化为存在 x,C 满足 0x<C<π2,有1sinC+x2+1sinCx2=2cosC.
该方程即cos2x2sinC2cosCcosx2cos2C2=0.
根据题意,关于 t 的方程t2sinC2cosCtcos2C2=0
(cosC2,1] 上有实数解,因此只需要(t2sinC2cosCtcos2C2)|t=10,
也即sinC2cosC0,
因此可得 C 的取值范围是 [π3,π2),进而所求的最大值为 12
    直接积化和差也可以.
法二    由均值不等式可得2cosC4cosA+cosB=42cosA+B2cosAB22sinC2,
于是sinC2cosC,
进而 Cπ3,因此 cosC 的最大值为 12,当 A=B=C=π3 时取得.

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