每日一题[1150]函数的性质

已知函数 $f(x)=-\dfrac{2x}{1+|x|},x\in\mathbb R$，区间 $M=[a,b]$，集合 $N=\{y\mid y=f(x),x\in M\}$．若 $M=N$，则 $b-a$ 的值是________．

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正确答案是$2$．

分析与解    注意到 $f(x)$ 为单调递减的奇函数，则由题可知有

$$\begin{cases} f(a)=b,\\f(b)=a,\end{cases}$$ 因此 $a+b=0$，证明如下．
证明    若 $a>-b$，则 $$f(a)<f(-b),$$ 于是 $$f(a)+f(b)<0<a+b,$$ 矛盾；同理，若 $a<-b$，亦矛盾．因此 $a+b=0$．
于是 $$-\dfrac{2b}{1+b}=-b,$$ 解得 $b=1$，因此 $$b-a=2b=2.$$

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下面给出一道练习：

已知集合 $A=\{x|-2\leqslant x\leqslant 2\},$ 函数 $f(x)=\dfrac{ax}{|x|+2},-4\leqslant x\leqslant 3$ 的值域为 $B$，如果 $A\subseteq B$，那么 $a$ 的取值范围是_______．

正确答案是$\left(-\infty,-\dfrac{10}3\right]\cup\left[\dfrac{10}3,+\infty\right)$．

解    显然 $a\ne 0$．考虑函数 $g(x)=\dfrac{ax}{|x|+2}$，$x\in\mathbb R$ 为奇函数，且在 $(0,+\infty)$ 上单调，因此 $g(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调函数．因此函数 $f(x)$ 的值域为

$$\begin{cases} \left[f(-4),f(3)\right],&a>0,\\\left[f(3),f(-4)\right],&a<0,\end{cases}$$ 结合 $A\subseteq B$，可得 $$\left|\dfrac {3a}5\right|\geqslant 2,$$ 解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{10}3\right]\cup\left[\dfrac{10}3,+\infty\right)$．