每日一题[1144]三元最值

已知正实数 $x,y,z$ 满足 $\sqrt{x^2+y^2}+z=1$，则 $xy+2xz$ 的最大值为 ______．

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正确答案是$\dfrac{\sqrt3}{3}$．

分析与解　法一　根据题意，有

$$x^2=(1-z)^2-y^2=(1-z-y)(1-z+y),$$ 于是 $$\begin{split} xy+2xz&=x(y+2z)\\&=\sqrt{(1-z-y)(1-z+y)\cdot(y+2z)^2}\\&=\sqrt{\dfrac13(3-3z-3y)(1-z+y)(y+2z)(y+2z)}\\&\leqslant\dfrac{\sqrt3}3.\end{split}$$ 等号当 $$3-3z-3y=1-z+y=y+2z,$$ 即 $$(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac13\right)$$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．

法二　根据题意，有

$$\begin{split}1&=\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(\dfrac34+\dfrac14\right)}+z\\&\geqslant\dfrac{\sqrt3}2x+\dfrac12y+z\\&=\dfrac{\sqrt 3}2x+\dfrac{y+2z}2\\&\geqslant\sqrt{\sqrt3x(y+2z)},\end{split}$$ 因此 $$xy+2xz=x(y+2z)\leqslant \dfrac{\sqrt 3}3,$$ 等号当 $$\begin{cases} x=\sqrt{3}y,\\ \sqrt3x=y+2z,\end{cases}$$ 即 $(x,y,z)=\left(\dfrac{\sqrt3}3,\dfrac13,\dfrac 13\right)$ 时取得，因此所求代数式的最大值为 $\dfrac{\sqrt 3}3$．