每日一题[1140]寻找递推关系

定义在正整数集且在正整数集上取值的函数 $f(x)$ 满足 $f(1)\neq1$,且对 $\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$,有 $f\left(n\right)+f\left(n+1\right)$ $+f(f(n))=3n+1$,则 $f(2015)=$_______.


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正确答案是$2016$.

分析与解 根据题意,当 $n=1$ 时有\[f(1)+f(2)+f(f(1))=4,\]因此 $f(1)=2$,$f(2)=1$.接下来证明\[f(n)=\begin{cases} n+1,&2 \nmid n,\\ n-1 & 2\mid n.\end{cases}\]
归纳基础 当 $n=1,2$ 时,命题显然成立.

递推证明 假设当 $n\leqslant k$($k\in\mathbb N^{\ast}$)时命题成立,则有\[f(k)+f(k+1)+f(f(k))=3k+1,\]也即\[\begin{split} f(k+1)&=3k+1-f(k)-f(f(k))\\&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),& 2\nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-f(k-1),& 2\mid k,\end{cases}\\&=\begin{cases} 3k+1-(k+1)-f(k+1),&2 \nmid k,\\ 3k+1-(k-1)-k,&2\mid k,\end{cases}\end{split}\]从而有\[f(k+1)=\begin{cases} (k+1)-1,& 2\mid (k+1),\\ (k+1)+1,& 2\nmid (k+1),\end{cases}\]于是命题对 $n=k+1$ 也成立.

因此 $f(2015)=2016$.

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