每日一题[1139]各个击破

若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)=\left|{\sin x+\dfrac{2}{3+\sin x}+t}\right|$ 最大值记为 $g(t)$,则函数 $g(t)$ 的最小值为______.


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正确答案是$\dfrac{3}{4}$.

分析与解 根据题意,有\[\begin{split} g(t)&\geqslant \dfrac{f\left(-\dfrac{\pi}2\right)+f\left(\dfrac{\pi}2\right)}2\\&=\dfrac{|t|+\left|\dfrac 32+t\right|}2\\&\geqslant \dfrac{\left|t-\left(\dfrac 32+t\right)\right|}2\\&=\dfrac 34,\end{split}\]等号当 $f\left(-\dfrac{\pi}2\right)$ 与 $f\left(\dfrac{\pi}2\right)$ 相等,且 $t$ 与 $\dfrac 32+t$ 异号时取得,也即 $t=-\dfrac 34$ 时取得.因此所求的最小值为 $\dfrac 34$.

其它解法 因为\[f(x)=\left|(\sin x+3)+\dfrac 2{\sin x+3}+t-3\right|,\]因为 $\sin x+3\in[2,4]$,所以\[(\sin x+3)+\dfrac 2{\sin x+3}\in\left[3,\dfrac 92\right],\]于是\[g(t)=\max\left\{|t|,\left|t+\dfrac 32\right|\right\},\]于是当 $t=-\dfrac 34$ 时,$g(t)$ 有最小值 $\dfrac 34$.


下面给出一道练习:

设实数 $a,b$ 满足 $1\leqslant b\leqslant a\leqslant \sqrt3$,则 $\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$ 的最大值为_______.

正确答案是$\sqrt3$.

 先固定 $a$,根据题意有\[m=\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=\dfrac 1a\left[b+\left(a^2-1\right)\cdot \dfrac 1b\right].\]考虑到对勾函数的单调性,其最大值必然在 $b=1$ 或 $b=a$ 时取得.因此\[m\leqslant\max\left\{a,2-\dfrac{1}{a^2}\right\}\leqslant \sqrt 3,\]等号当 $\left(a,b\right)=\left(\sqrt 3,1\right)$ 时取得.因此所求代数式的最大值为 $\sqrt 3$.

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