每日一题[1129]构造函数比大小

设函数 $f(x)=(1-mx)\ln (1+x)$．

（1）当 $0<x<1$ 时，函数 $f(x)$ 的图象恒在 $y=x$ 上方，求实数 $m$ 的取值范围；

（2）求证：${\rm e}>\left(\dfrac{1001}{1000}\right)^{1000.4}$．

分析与解　（1）设 $g(x)=f(x)-x$，则函数 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=-m\ln(1+x)-\dfrac{(m+1)x}{x+1},$$ 注意到 $g(0)=g'(0)=0$，考虑 $g(x)$ 的二阶导函数 $$g''(x)=-\dfrac{mx+2m+1}{(x+1)^2},$$ 讨论分界点为 $0,-\dfrac 12$．

情形一　$m>0$．此时 $$g\left(\dfrac 1m\right)=-\dfrac 1m<0,$$ 不符合题意．

情形二　$m=0$．此时 $$g(x)=\ln(1+x)-x<0,$$ 不符合题意．

情形三　$-\dfrac 12<m<0$．此时设 $p=\min\left\{1,-\dfrac{2m+1}m\right\}$，则在区间 $(0,p)$ 上，函数 $g''(x)<0$，于是 $g'(x)$ 单调递减，结合 $g'(0)=0$ 可得 $g(x)$ 单调递减，进而 $$g(x)<g(0)=0,$$ 不符合题意．

情形四　$m\leqslant -\dfrac 12$．此时 $g''(x)>0$，进而 $g'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，结合 $g'(0)=0$ 可得在 $(0,1)$ 上 $g'(x)>0$，进而 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，因此 $$g(x)>g(0)=0,$$ 符合题意．

综上所述，实数 $m$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$．

（2）欲证不等式即 $$\ln\left(1+\dfrac{1}{1000}\right)<\dfrac{5}{5002},$$ 考虑证明当 $x\in (0,1)$ 时，有 $$\ln (1+x)<\dfrac{5}{\dfrac 5x+2},$$ 也即当 $x\in (0,1)$ 时，有 $$\left(1+\dfrac 25x\right)\ln (1+x)<x,$$ 根据第 $(1)$ 小题的结果，取 $m=-\dfrac 25$，当 $x\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 时，有 $g(x)<0$，即得上述不等式成立，因此原命题得证．

注　事实上，也可以不依赖于第 $(1)$ 小题，根据 $\ln x$ 的进阶放缩，有当 $x\in \left(0,\dfrac 12\right)$ 时，有 $$\ln (1+x)<\dfrac 12\left(x+1-\dfrac{1}{x+1}\right)<\dfrac{5x}{5+2x},$$ 其中 $$\dfrac 12\left(x+1-\dfrac{1}{x+1}\right)-\dfrac{5x}{5+2x}=\dfrac{x^2(2x-1)}{2(x+1)(5+2x)}.$$

最后给出一道相关的题作为思考题：

求证：$10000.4\ln\left(1+\dfrac{1}{10000}\right)<1< 1000.5\ln\left(1+\dfrac{1}{1000}\right)$．

证明　考虑证明
引理　当 $0<x<\dfrac 12$ 时，有 $$\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{5}\right)\ln(1+x)<1<\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)\ln(1+x).$$ 然后分别将 $x=\dfrac{1}{10000}$ 代入上述不等式左边，将 $x=\dfrac{1}{1000}$ 代入上述不等式右边即得题中不等式．
引理的证明　也即证明当 $0<x<\dfrac 12$ 时，有 $$\dfrac{2x}{x+2}<\ln(1+x)<\dfrac{5x}{2x+5},$$ 左侧是我们熟知的不等式，而当 $0<x<\dfrac 12$ 时，有 $$\ln(1+x)<\dfrac 12\left(1+x-\dfrac{1}{1+x}\right)=\dfrac{x^2+2x}{2x+2}<\dfrac{5x}{2x+5},$$ 因此原命题得证．