每日一题[1124]极值点偏移

已知函数 $f(x)=x\ln x+x^2-ax+2$，其中 $a$ 是实数．若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$．

（1）求证：$x_1+x_2>2$；

（2）求证：$x_1\cdot x_2>1$．

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  分析与解　（1）设函数

$$g(x)=\ln x+x+\dfrac 2x-a,$$ 其导函数 $$g'(x)=\dfrac{(x+2)(x-1)}{x^2},$$ 其极值点为 $x=1$，有 $$0<x_1<1<x_2.$$ 考虑函数 $$\varphi(x)=g(x)-g(2-x),$$ 则其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{2(x-1)^2\left(x^2-2x-4\right)}{x^2(x-2)^2},$$ 于是在 $(0,1)$ 上，有 $\varphi(x)$ 单调递减，因此 $$\varphi(x)>\varphi(1)=0,$$ 这样就有 $$g(x_2)=g(x_1)>g(2-x_1),$$ 进而有 $x_2>2-x_1$，原命题得证．

（2）在第 $(1)$ 小题的基础上，考虑函数

$$\mu(x)=g(x)-g\left(\dfrac 1x\right),$$ 则其导函数 $$\mu'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{x^2}<0,$$ 于是在 $(0,1)$ 上，有 $\mu(x)$ 单调递减，因此 $$\mu(x)>\mu(1)=0,$$ 这样就有 $$g(x_2)=g(x_1)>g\left(\dfrac 1{x_1}\right),$$ 进而有 $x_2>\dfrac{1}{x_1}$，原命题得证．