每日一题[1124]极值点偏移

已知函数 $f(x)=x\ln x+x^2-ax+2$,其中 $a$ 是实数.若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$.

(1)求证:$x_1+x_2>2$;

(2)求证:$x_1\cdot x_2>1$.


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  分析与解 (1)设函数\[g(x)=\ln x+x+\dfrac 2x-a,\]其导函数\[g'(x)=\dfrac{(x+2)(x-1)}{x^2},\]其极值点为 $x=1$,有\[0<x_1<1<x_2.\]考虑函数\[\varphi(x)=g(x)-g(2-x),\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{2(x-1)^2\left(x^2-2x-4\right)}{x^2(x-2)^2},\]于是在 $(0,1)$ 上,有 $\varphi(x)$ 单调递减,因此\[\varphi(x)>\varphi(1)=0,\]这样就有\[g(x_2)=g(x_1)>g(2-x_1),\]进而有 $x_2>2-x_1$,原命题得证.

(2)在第 $(1)$ 小题的基础上,考虑函数\[\mu(x)=g(x)-g\left(\dfrac 1x\right),\]则其导函数\[\mu'(x)=-\dfrac{(x-1)^2}{x^2}<0,\]于是在 $(0,1)$ 上,有 $\mu(x)$ 单调递减,因此\[\mu(x)>\mu(1)=0,\]这样就有\[g(x_2)=g(x_1)>g\left(\dfrac 1{x_1}\right),\]进而有 $x_2>\dfrac{1}{x_1}$,原命题得证.

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