每日一题[1123]三角形的内心

已知 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心,$AB=2$,$AC=3$,若 $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,$2x+3y=m$,则 $m$ 的取值范围是________.


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正确答案是$\left(\dfrac 65,2\right)$.

分析与解 根据题意,有\[(1-x-y)\overrightarrow{IA}+x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\]于是\[\dfrac{1-x-y}{BC}=\dfrac{x}{CA}=\dfrac{y}{AB}=\dfrac{1}{n},\]其中 $n$ 是 $\triangle ABC$ 的周长,且 $n$ 的取值范围是 $(6,10)$,于是\[x=\dfrac 3n,y=\dfrac 2n,\]从而\[m=\dfrac{12}{n},\]取值范围是 $\left(\dfrac 65,2\right)$.

其它解法 由 $I$ 为内心知\[\overrightarrow{AI}=\lambda\left(\dfrac 12\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right),\]于是 $\dfrac xy=\dfrac 32$,从而得到\[x=\dfrac 14m,y=\dfrac 16m.\]又\[x+y=\dfrac 5{12}m=\dfrac{AI}{AT}=\dfrac{h_a-r}{h_a},\]其中 $h_a$ 表示 $BC$ 边的高,$r$ 表示 $\triangle ABC$ 的内切圆半径.另一方面\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12(2+3+a)r=\dfrac 12ah_a,\]联立得到\[m=\dfrac {12}5\cdot\dfrac 5{a+5}=\dfrac{12}{a+5},\]而 $a\in (1,5)$,所以 $m\in\left(\dfrac 65,2\right)$.

 解法中用到了内心的向量表达.

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