每日一题[1123]三角形的内心

已知 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$AB=2$，$AC=3$，若 $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$2x+3y=m$，则 $m$ 的取值范围是________．

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正确答案是$\left(\dfrac 65,2\right)$．

分析与解　根据题意，有

$$(1-x-y)\overrightarrow{IA}+x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,$$ 于是 $$\dfrac{1-x-y}{BC}=\dfrac{x}{CA}=\dfrac{y}{AB}=\dfrac{1}{n},$$ 其中 $n$ 是 $\triangle ABC$ 的周长，且 $n$ 的取值范围是 $(6,10)$，于是 $$x=\dfrac 3n,y=\dfrac 2n,$$ 从而 $$m=\dfrac{12}{n},$$ 取值范围是 $\left(\dfrac 65,2\right)$．

其它解法　由 $I$ 为内心知

$$\overrightarrow{AI}=\lambda\left(\dfrac 12\overrightarrow{AB}+\dfrac 13\overrightarrow{AC}\right),$$ 于是 $\dfrac xy=\dfrac 32$，从而得到 $$x=\dfrac 14m,y=\dfrac 16m.$$ 又 $$x+y=\dfrac 5{12}m=\dfrac{AI}{AT}=\dfrac{h_a-r}{h_a},$$ 其中 $h_a$ 表示 $BC$ 边的高，$r$ 表示 $\triangle ABC$ 的内切圆半径．另一方面 $$S_{\triangle ABC}=\dfrac 12(2+3+a)r=\dfrac 12ah_a,$$ 联立得到 $$m=\dfrac {12}5\cdot\dfrac 5{a+5}=\dfrac{12}{a+5},$$ 而 $a\in (1,5)$，所以 $m\in\left(\dfrac 65,2\right)$．

注　解法中用到了内心的向量表达．