每日一题[1122]约束条件处理

已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac 12ax^2+2bx+c$ 在区间 $(0,1)$ 上有极大值,在区间 $(1,2)$ 上有极小值,若 $(a+3)b\leqslant t$ 恒成立,则 $t$ 的取值范围是______.


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正确答案是$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$.

分析与解 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x^2+ax+2b,\]根据题意,关于 $x$ 的方程\[2x^2+ax+2b=0\]的两根分别在区间 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上,因此\[\begin{cases} \left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=0}>0,\\ \left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=1}<0,\\
\left(2x^2+ax+2b\right)\Big|_{x=2}>0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} b>0,\\ a+2b<-2,\\ a+b>-4,\end{cases}\]也即\[-4-b<a<-2b-2,\]其中 $0<b<2$.因此\[-1-b<a+3<-2b+1,\]其上确界必然在端点处取得,为\[\max_{0<b<2}\{(-1-b)b,(-2b+1)b\}=\dfrac 18,\]当 $(a,b)\to \left(-\dfrac 52,\dfrac 14\right)$ 时取得.因此 $t$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 18,+\infty\right)$.

 在得到 $(a,b)$ 的约束条件后,也可以令 $m=a+3,n=b$,得到 $(m,n)$ 的约束条件\[\begin{cases} n>0,\\m+2n<1,\\m+n>-1,\end{cases}\]从而得到得到可行域如下:

考虑 $mn=t$ 对应的曲线为反比例函数,当 $mn=t$ 与 $m+2n=1$ 在第一象限相切时,$t$ 有最小值,联立由判别式等于零得 $t=\dfrac 18$,通过规划即可求出 $mn$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 18,+\infty\right)$.

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