每日一题[1106]恒成立问题

关于 $x$ 的不等式 $(ax-1)(\ln x+ax)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

正确答案是$\left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$．

分析与解　法一　根据题意，有 $$\forall x>0,\left(a-\dfrac 1x\right)\left(a+\dfrac{\ln x}x\right)\geqslant 0,$$ 也即 $$\forall x>0,a\leqslant \min\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\}\lor a\geqslant \max\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\}.$$ 考虑其反面，为 $$\exists x>0,\min\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\}< a < \max\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\},$$ 用导数研究函数 $y=-\dfrac{\ln x}x$，并作出 $y=\dfrac 1x$ 与 $y=-\dfrac{\ln x}x$ 的图象如下：
容易得到 $$a>{\rm e}\lor -\dfrac{1}{\rm e}<a<{\rm e},$$ 于是所求的实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$．

法二　直接对 $a$ 进行讨论，显然 $a\ne 0$，以$0$为分界点：

若 $a<0$，因为 $ax-1<0$，所以 $\ln x+ax\leqslant 0$ 恒成立，而函数 $m(x)=\ln x+ax$ 的最小值在 $-\dfrac 1a$ 时取到，所以 $m\left(-\dfrac 1a\right)\leqslant 0$，解得 $a\leqslant -\dfrac 1{\rm e}$．
若 $a>0$，则有 $\left(x-\dfrac 1a\right)\left(\ln x+ax\right)\geqslant 0$ 恒成立，因为函数 $y=x-\dfrac 1a$ 与函数 $y=\ln x+ax$ 都在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而第一个函数有唯一的零点 $\dfrac 1a$，所以后一个函数也有唯一的零点 $\dfrac 1a$，即 $$\ln\dfrac 1a+a\cdot\dfrac 1a=0,$$ 解得 $a=\rm e$．
综上知 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$．