函数 f(x)=ax2−2016x+2017(a>0)在区间 [t−1,t+1] 上函数 f(x) 的最大值为 M(t),最小值为 m(t),函数 h(t)=M(t)−m(t) 的最小值为 1,则 a 的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.以上答案都不对
正确答案是 A.
考虑到平移函数 f(x) 的图象不改变问题的本质,直接考虑 f(x)=ax2.此时有h(t)=M(t)−m(t)⩾f(t+1)+f(t−1)2−f(t)=a,
等号当 t=0 时可以取得.因此 h(t) 的最小值为 a,所以 a 的值为 1.
最后给出一道练习:
函数 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3) 的最小值为______.
正确答案是−1.
分析 函数 f(x) 的最小值与函数 f(x−32) 的最小值相同,而f(x−32)=(x2−94)⋅(x2−14),即f(x−32)=(x2−54)2−1,因此所求函数的最小值为 −1.