每日一题[1097]本质不变

函数 $f(x)=ax^2-2016x+2017$（$a>0$）在区间 $[t-1,t+1]$ 上函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(t)$，最小值为 $m(t)$，函数 $h(t)=M(t)-m(t)$ 的最小值为 $1$，则 $a$ 的值是（　　）

A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．以上答案都不对

正确答案是 A．
考虑到平移函数 $f(x)$ 的图象不改变问题的本质，直接考虑 $f(x)=ax^2$．此时有 $$\begin{split} h(t)&=M(t)-m(t)\\&\geqslant \dfrac{f(t+1)+f(t-1)}2-f(t)\\&=a,\end{split}$$ 等号当 $t=0$ 时可以取得．因此 $h(t)$ 的最小值为 $a$，所以 $a$ 的值为 $1$．

最后给出一道练习：

函数 $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)$ 的最小值为______．

正确答案是$-1$．

分析　函数 $f(x)$ 的最小值与函数 $f\left(x-\dfrac 32\right)$ 的最小值相同，而 $$f\left(x-\dfrac 32\right)=\left(x^2-\dfrac 94\right)\cdot \left(x^2-\dfrac 14\right),$$ 即 $$f\left(x-\dfrac 32\right)=\left(x^2-\dfrac 54\right)^2-1,$$ 因此所求函数的最小值为 $-1$．