每日一题[1095]隔河相望

已知函数 $f(x)={\log_a}x$，直线 $y=\dfrac{1}{\rm e}x$ 与函数 $f(x)$ 的图象相切．函数 $g(x)$ 为函数 $f(x)$ 的反函数．

（1）当 $x>0$ 时，若 $\dfrac{f(x)}{x}\leqslant k\leqslant \dfrac{g(x)}{x}$ 恒成立，求 $k$ 的最大值 $K_0$；

（2）对于 $(1)$ 中的 $K_0$，求证：$\dfrac{f(x)}{g(x)}<K_0^{-\frac{13}6}$．

分析与解　函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}.$$ 直线 $y=\dfrac{1}{\rm e}x$ 与函数 $f(x)$ 的图象的切点横坐标为 $t$，则 $$\dfrac{1}{t\ln a}=\dfrac 1{\rm e},{\log_a}t=\dfrac{1}{\rm e}t,$$ 解得 $(a,t)=({\rm e},{\rm e})$．因此 $f(x)=\ln x$，$g(x)={\rm e}^x$．根据题意，有 $$\forall x>0,\dfrac{\ln x}{x}\leqslant k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x},$$ 于是 $$\max_{x>0}\left\{\dfrac{\ln x}{x}\right\}\leqslant k\leqslant \min_{x>0}\left\{\dfrac{{\rm e}^x}{x}\right\},$$ 即 $$\dfrac{1}{\rm e}\leqslant k\leqslant {\rm e},$$ 因此 $K_0={\rm e }$．

 （2）欲证不等式即 $$\dfrac{\ln x}{{\rm e}^x}<{\rm e}^{-\frac{13}6},$$ 也即 $${\rm e}^{x-\frac{13}6}>\ln x.$$ 考虑两个函数分别位于 $x=\dfrac 53$ 和 $x=\sqrt{\rm e}$ 处的切线，有 $$\begin{split} {\rm e}^{x-\frac{13}{6}}&\geqslant \dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(x-\dfrac 53\right)+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},\\\ln x&\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(x-\sqrt{\rm e}\right)+\dfrac 12,\end{split}$$
于是只需要证明 $$\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(-\dfrac 53\right)+\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\cdot \left(-\sqrt{\rm e}\right)+\dfrac 12,$$ 即 $${\rm e}>\dfrac{16}9,$$ 因此命题得证．