每日一题[1084]三角综合

在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且

$$\dfrac{b}{(a+c)\sin A}=\dfrac{1}{\cos\left(B+\dfrac{3\pi}2\right)}.$$

（1）求证：$\cos B=2\cos^2A-1$；

（2）若 $m<\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}<n$，求 $n-m$ 的最小值．

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（1）由正弦定理和诱导公式，可得

$$\dfrac{\sin B}{\left(\sin A+\sin C\right)\cdot \sin A}=\dfrac{1}{\sin B},$$ 也即 $$\sin^2B-\sin^2A=\sin A\cdot \sin C.$$ 根据三角平方差公式，有 $$\sin^2B-\sin^2A=\sin(B+A)\cdot \sin(B-A),$$ 于是 $$\sin (B-A)=\sin A,$$ 因此 $B=2A$，进而由二倍角公式可得 $$\cos B=2\cos^2A-1.$$

 （2）根据第 $(1)$ 小题的结果，有

$$\begin{split}\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1}{\tan B}=&\dfrac{1}{\tan A}-\dfrac{1-\tan^2A}{2\tan A}\\=&\dfrac{1+\tan^2A}{2\tan A}\\=&\dfrac{1}{\sin 2A}=\dfrac{1}{\sin B}.\end{split}$$ 根据 $\triangle ABC$ 是锐角三角形，可得 $B$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$．因此 $\dfrac{1}{\sin B}$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)$，因此 $n-m$ 的最小值是 $\dfrac{2}{\sqrt 3}-1$．