每日一题[1083]指对混合

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac 12ax^2$（$x>0$）．

（1）当 $a=2$ 时，求证：$f(x)>1$；

（2）是否存在正整数 $a$，使得 $f'(x)\geqslant x^2\ln x$ 对一切 $x>0$ 恒成立？若存在，求出 $a$ 的最大值；若不存在，请说明理由．

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分析与证明（1）欲证结论即当 $x>0$ 时，有

$${\rm e}^x>x^2+1,$$ 也即 $$\left(x^2+1\right)\cdot {\rm e}^{-x}<1.$$ 设左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数 $$\varphi'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot (x-1)^2\leqslant 0,$$ 因此 $\varphi(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，从而当 $x>0$ 时，有 $$\varphi(x)<\varphi(0)=1,$$ 命题得证．

 （2）题意即

$$\forall x>0,{\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x,$$ 也即 $$\forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x}-x\ln x.$$ 设右侧函数为 $\mu(x)$，则 $$a\leqslant \mu(1)={\rm e},$$ 接下来证明 $a=2$ 符合题意．只需要证明 $$\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}x-x\ln x\geqslant 2.$$ 也即 $$\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac{2}{x}\geqslant 0,$$ 记 $$g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac{2}{x},$$ 则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x-2}{x^2}\cdot \left(\dfrac{{\rm e}^x}x-1\right),$$ 于是当 $x=2$ 时，$g(x)$ 取得极小值，亦为最小值 $$\begin{split} g(2)&=\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1\\&>\dfrac 14\left(\dfrac{19}7\right)^2-\dfrac 34-1\\&=\dfrac{9}{98}>0.\end{split}$$ 综上所述，正整数 $a$ 的最大值为 $2$．

注　题目中用到了$\ln 2<\dfrac 34$与${\rm e}>\dfrac{19}7$．

对于前者，我们有结论

$$\forall x>1,\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),$$ 令$x=2$即可得到；

对于后者，因为

$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}<2\left(x+\dfrac 13x^3+\dfrac 15\cdot \dfrac{x^5}{1-x^2}\right),-1<x<1,$$ 令$x=\dfrac{6}{13}$，可得 $$\ln\dfrac{19}7<\dfrac{1459932}{1461005}<1,$$ 从而得到后一个不等式．