已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-\dfrac 12ax^2\)（\(x>0\)）．
（1）当 \(a=2\) 时，求证：\(f(x)>1\)；
（2）是否存在正整数 \(a\)，使得 \(f'(x)\geqslant x^2\ln x\) 对一切 \(x>0\) 恒成立？若存在，求出 \(a\) 的最大值；若不存在，请说明理由．
分析与证明（1）欲证结论即当 \(x>0\) 时，有\[{\rm e}^x>x^2+1,\]也即\[\left(x^2+1\right)\cdot {\rm e}^{-x}<1.\]设左侧函数为 \(\varphi(x)\)，则其导函数\[\varphi'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot (x-1)^2\leqslant 0,\]因此 \(\varphi(x)\) 在 \(\mathbb R\) 上单调递减，从而当 \(x>0\) 时，有\[\varphi(x)<\varphi(0)=1,\]命题得证．
（2）题意即\[\forall x>0,{\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x,\]也即\[\forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x}-x\ln x.\]设右侧函数为 \(\mu(x)\)，则\[a\leqslant \mu(1)={\rm e},\]接下来证明 \(a=2\) 符合题意．只需要证明\[\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}x-x\ln x\geqslant 2.\]也即\[\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac{2}{x}\geqslant 0,\]记\[g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac{2}{x},\]则其导函数\[g'(x)=\dfrac{x-2}{x^2}\cdot \left(\dfrac{{\rm e}^x}x-1\right),\]于是当 \(x=2\) 时，\(g(x)\) 取得极小值，亦为最小值\[\begin{split} g(2)&=\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1\\&>\dfrac 14\left(\dfrac{19}7\right)^2-\dfrac 34-1\\&=\dfrac{9}{98}>0.\end{split}\]综上所述，正整数 \(a\) 的最大值为 \(2\)．
注 题目中用到了$\ln 2<\dfrac 34$与${\rm e}>\dfrac{19}7$．
对于前者，我们有结论$$\forall x>1,\ln x<\dfrac 12\left(x-\dfrac 1x\right),$$令$x=2$即可得到；
对于后者，因为$$\ln\dfrac{1+x}{1-x}<2\left(x+\dfrac 13x^3+\dfrac 15\cdot \dfrac{x^5}{1-x^2}\right),-1<x<1,$$令$x=\dfrac{6}{13}$，可得$$\ln\dfrac{19}7<\dfrac{1459932}{1461005}<1,$$从而得到后一个不等式．