每日一题[1082]动起来

点 $P(x,y)$ 是曲线 $C:y=\dfrac 1x$（$x>0$）上的一个动点，曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点，点 $O$ 是坐标原点，则（　　）

A．$|PA|=|PB|$
B．$\triangle OAB$ 的面积为定值
C．曲线 $C$ 上存在两点 $M,N$ 使得 $\triangle OMN$ 是等边三角形
D．曲线 $C$ 上存在两点 $M,N$ 使得 $\triangle OMN$ 是等腰直角三角形

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正确答案是ABCD．

分析与解　选项A　先证明一个引理．

引理　若直线 $l$ 是曲线 $C:y=\dfrac 1x$ 的割线，且割点分别为 $P,Q$，直线 $l$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点，则 $PB=QA$，如图．

证明　过 $P,Q$ 作两坐标轴的垂线，设 $PM$ 与 $x$ 轴垂直且相交于 $M$，$QN$ 与 $y$ 轴垂直且相交于 $N$，$PM$ 与 $QN$ 相交于 $R$，则根据反比例函数图象的性质，有 $S_{\triangle NPR}=S_{\triangle MQR}$，因此

$$S_{\triangle NPQ}=S_{\triangle MPQ},$$ 进而 $MN\parallel PQ$，从而 $BP,NM,QA$ 平行且相等，于是引理得证．

根据引理，当 $P,Q$ 重合时，割线变成切线，此时有 $|PA|=|PB|$，命题成立．

选项B　由于 $|PA|=|PB|$，因此 $\triangle OAB$ 的面积为定值 $2$．

选项C　在曲线 $C$ 上选取关于 $y=x$ 对称的两点 $M,N$，形成等腰 $\triangle OMN$，当 $N$ 从 $(1,0)$ 向 $(+\infty,0)$ 运动时，$\triangle OMN$ 的顶角 $\angle MON$ 从 $0$ 增大到 $90^\circ$，在运动的过程中必然存在 $\triangle MON$ 为 $60^\circ$ 的时刻，此时 $\triangle MON$ 为等边三角形，命题正确．

选项D　过 $O$ 作射线 $OM$，与曲线 $C$ 交于 $M$．将射线 $OM$ 顺时针旋转 $45^\circ$ 得到射线 $ON$，与曲线 $C$ 交于 $N$．当 $M$ 从 $(0,+\infty)$ 运动到 $(1,1)$ 时，$\dfrac{OM}{ON}$ 的值从 $+\infty$ 变化到 $0$，在运动的过程中必然存在 $\dfrac{OM}{ON}$ 为 $\sqrt 2$ 和 $\dfrac{\sqrt 2}2$ 的时刻，此时 $\triangle MON$ 为等腰直角三角形，命题正确．

注　选项A，B也可以直接求出切线方程判断真假．