已知函数 \(f(x)={\rm e}^x-\dfrac ax\)，\(a\) 为实常数．
（1）当 \(a>0\) 时，求函数 \(f(x)\) 的单调区间；
（2）若 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上存在极值点，且极值大于 \(\ln 4+2\)，求 实数 \(a\) 的取值范围．
分析与解 （1）根据题意，有 \(f(x)\) 的导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x^2+a}{x^2}.\]当 \(a>0\) 时，有 \(f'(x)>0\)，因此函数 \(f(x)\) 的单调递增区间是 \((-\infty,0)\) 和 \((0,+\infty)\)；函数 \(f(x)\) 没有单调递减区间．
（2）考虑函数 \(\varphi(x)={\rm e}^x\cdot x^2+a\)，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x\cdot x(x+2),\]于是函数 \(\varphi(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，进而可得当 \(a<0\) 时，函数 \(f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上存在极小值点，记该极小值点为 \(x=m\)，则\[{\rm e}^m\cdot m^2+a=0,\]且\[f(m)={\rm e}^m-\dfrac am>\ln 4+2,\]也即\[{\rm e}^m+{\rm e}^m\cdot m>\ln 4+2,\]注意到上述不等式左侧关于 \(m\) 单调递增，且当 \(m=\ln 2\) 时两边相等，因此可解得\[m>\ln 2.\]进而结合\[a=-{\rm e}^m\cdot m^2,\]由函数 \(\varphi(x)\) 单调递增可得实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left(-\infty,-2\ln^22\right)\)．
注 \(\varphi(x)\) 的单调性也可以不求导直接得到．因为函数$y={\rm e}^x$与$y=x^2$均在$(0,+\infty)$上单调递增，且函数值均非负，所以它们的乘积对应的函数$y=x^2{\rm e}^x$在$(0,+\infty)$上单调递增．