每日一题[1081]用极值点表示参数

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac ax$，$a$ 为实常数．

（1）当 $a>0$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

（2）若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在极值点，且极值大于 $\ln 4+2$，求 实数 $a$ 的取值范围．

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分析与解　（1）根据题意，有 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x^2+a}{x^2}.$$ 当 $a>0$ 时，有 $f'(x)>0$，因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$；函数 $f(x)$ 没有单调递减区间．

 （2）考虑函数 $\varphi(x)={\rm e}^x\cdot x^2+a$，则其导函数

$$\varphi'(x)={\rm e}^x\cdot x(x+2),$$ 于是函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，进而可得当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在极小值点，记该极小值点为 $x=m$，则 $${\rm e}^m\cdot m^2+a=0,$$ 且 $$f(m)={\rm e}^m-\dfrac am>\ln 4+2,$$ 也即 $${\rm e}^m+{\rm e}^m\cdot m>\ln 4+2,$$ 注意到上述不等式左侧关于 $m$ 单调递增，且当 $m=\ln 2$ 时两边相等，因此可解得 $$m>\ln 2.$$ 进而结合 $$a=-{\rm e}^m\cdot m^2,$$ 由函数 $\varphi(x)$ 单调递增可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-2\ln^22\right)$．

注 　$\varphi(x)$ 的单调性也可以不求导直接得到．因为函数$y={\rm e}^x$与$y=x^2$均在$(0,+\infty)$上单调递增，且函数值均非负，所以它们的乘积对应的函数$y=x^2{\rm e}^x$在$(0,+\infty)$上单调递增．