每日一题[1074]抽丝剥茧

若函数 $f(x)=x^2(x-4)^2-a|x-2|+2a$ 有 $4$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是__________．

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正确答案是$\left\{-\dfrac{256}{27}\right\}\cup(-8,0)\cup(0,+\infty)$．

分析与解　注意到

$$f(x)=\left[(x-2)^2-4\right]^2-a\big( |x-2|-2\big),$$ 令 $t=|x-2|-2$，则函数 $y=f(x)$，即 $$y=t^2(t+4)^2-at.$$ 函数 $y=|x-2|-2$ 与直线 $y=t$ 的公共点个数 $n_t$ 与 $t$ 的取值之间的对应关系是 $$\begin{array}{c|ccc} \hline t&(-\infty,-2)&-2&(-2,+\infty)\\ \hline n_t&0&1&2 \\ \hline\end{array}$$

因为 $t=0$ 时对应函数的两个零点，所以函数 $\varphi(t)=t(t+4)^2$ 与直线 $y=a$ 在 $t\in(-2,+\infty)$ 上的公共点有且只有一个，且不为零，不为 $-2$．函数 $\varphi(t)$ 的导函数

$$\varphi'(t)=(t+4)\left(3t+4\right),$$ 因此图象如图．

由此得到实数 $a$ 的取值范围是 $\left\{-\dfrac{256}{27}\right\}\cup(-8,0)\cup(0,+\infty)$．