每日一题[1069]复合函数的零点

已知函数 $f(x)=x^2+\dfrac{a}{x}$（$x>0$），若 $f(f(x))$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围是________．

正确答案是$(-\infty,0)$．

分析与解　函数 $f(f(x))$ 有零点，于是函数 $f(x)$ 有零点，因此 $a<0$．此时函数 $f(x)$ 的零点为 $$x_0=\sqrt[3]{-a}.$$ 因此函数 $f(f(x))$ 的零点 $m$ 满足 $$f(m)=x_0.$$ 考虑到当 $a<0$ 时函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增，且值域为 $\mathbb R$，因此上述方程必然存在唯一实数解，符合题意．因此 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$．

下面给出一道练习：

设函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}3x-1,&x<1,\\2^x,&x\geqslant 1,\end{cases}$ 则满足 $f\left(f\left(a\right)\right)=2^{f\left(a\right)}$ 的 $a$ 的取值范围是_______．

正确答案是$\left[\dfrac 23,+\infty\right)$．

令$t=f(x)$，有$f(t)=2^t$，所以$t\geqslant 1$，即$f(a)\geqslant 1$，结合 $f(x)$ 是单调递增函数（如图），可得 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 23,+\infty \right)$．