每日一题[1068]化繁为简

若三角形 \(ABC\) 的三个内角 \(A,B,C\) 所对的边分别为 \(a,b,c\),且满足 \(\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{b+c}=b\),则 \(B=\)_______.


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正确答案是\(\dfrac{\pi}3\).

分析与解 法一

不妨设 \(a+b+c=1\),于是\[\dfrac{c^2}{1-c}+\dfrac{a^2}{1-a}+a+c=1,\]进而\[\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{c}{1-c}=1,\]整理得\[3ac=2a+2c-1.\]此时\[\begin{split}\cos B&=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\&=\dfrac{a^2+c^2-(1-a-c)^2}{2ac}\\&=\dfrac{2a+2c-1-2ac}{2ac}\\&=\dfrac 12,\end{split}\]因此 \(B=\dfrac{\pi}3\).

法二 注意到 \(a+b+c=0\) 时,有\[\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{b+c}-b=0,\]于是\[c^2(b+c)+a^2(a+b)-b(a+b)(b+c)\]中必然包含因式 \(a+b+c\).因此剩下的因式 \(M\) 为关于 \(a,c\) 对称的二次齐次式,设为\[M=\lambda_1\left(a^2+c^2\right)+\lambda_2b^2+\lambda_3(ab+bc)+\lambda_4ca,\]则对比 \(a^3,b^3,a^2b,abc\) 的系数可得\[\begin{cases}1=\lambda_1,\\ -1=\lambda_2,\\ 1=\lambda_1+\lambda_3,\\ -1=2\lambda_3+\lambda_4,\end{cases}\]解得\[\left(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\right)=(1,-1,0,-1),\]于是\[M=a^2+c^2-b^2-ca=0,\]因此\[\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}=\dfrac 12,\]故 \(B=\dfrac{\pi}3\).

 法二中推测出包含因式 \(a+b+c\) 后也可以直接配凑得到分解的因式.

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