每日一题[1067]互不相让

已知实数 \(a,b,c\) 满足不等式 \(|a|\geqslant |b+c|\)\(|b|\geqslant |c+a|\)\(|c|\geqslant |a+b|\),求证:\(a+b+c=0\)


cover分析与证明 法一  \(a+b+c=m\),则\[|a|\geqslant |m-a|,\]于是\[a^2\geqslant m^2-2ma+a^2,\]\[m(2a-m)\geqslant 0,\]类似的,有\[m(2b-m)\geqslant 0,m(2c-m)\geqslant 0,\]三式相加可得\[m[(2a-m)+(2b-m)+(2c-m)]\geqslant 0,\]\[-m^2\geqslant 0,\]于是 \(m=0\),原命题得证.

法二 考虑到问题的对称性,不妨设 \(a,b,c\) 中非负数较多.

情形一  \(a,b,c\) 中有 \(3\) 个非负数,则 \(a+b+c\geqslant 0\),且根据题意,有\[a+b+c\geqslant (b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c),\]于是 \(a+b+c=0\)

情形二  \(a,b,c\) 中有 \(2\) 个非负数,不妨设为 \(a,b\),则此时第三个不等式即\[a+b+c\leqslant 0,\]于是\[b+c\leqslant -a\leqslant 0,\]因此由第一个不等式可得\[a\geqslant -(b+c),\]\[a+b+c\geqslant 0,\]所以 \(a+b+c=0\)

综上所述,原命题得证.

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