每日一题[1068]化繁为简

若三角形 $ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且满足 $\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{b+c}=b$，则 $B=$_______．

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正确答案是$\dfrac{\pi}3$．

分析与解　法一

不妨设 $a+b+c=1$，于是

$$\dfrac{c^2}{1-c}+\dfrac{a^2}{1-a}+a+c=1,$$ 进而 $$\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{c}{1-c}=1,$$ 整理得 $$3ac=2a+2c-1.$$ 此时 $$\begin{split}\cos B&=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\&=\dfrac{a^2+c^2-(1-a-c)^2}{2ac}\\&=\dfrac{2a+2c-1-2ac}{2ac}\\&=\dfrac 12,\end{split}$$ 因此 $B=\dfrac{\pi}3$．

法二　注意到 $a+b+c=0$ 时，有

$$\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{b+c}-b=0,$$ 于是 $$c^2(b+c)+a^2(a+b)-b(a+b)(b+c)$$ 中必然包含因式 $a+b+c$．因此剩下的因式 $M$ 为关于 $a,c$ 对称的二次齐次式，设为 $$M=\lambda_1\left(a^2+c^2\right)+\lambda_2b^2+\lambda_3(ab+bc)+\lambda_4ca,$$ 则对比 $a^3,b^3,a^2b,abc$ 的系数可得 $$\begin{cases}1=\lambda_1,\\ -1=\lambda_2,\\ 1=\lambda_1+\lambda_3,\\ -1=2\lambda_3+\lambda_4,\end{cases}$$ 解得 $$\left(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4\right)=(1,-1,0,-1),$$ 于是 $$M=a^2+c^2-b^2-ca=0,$$ 因此 $$\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}=\dfrac 12,$$ 故 $B=\dfrac{\pi}3$．

注　法二中推测出包含因式 $a+b+c$ 后也可以直接配凑得到分解的因式．