已知实数 \(a,b,c\) 满足不等式 \(|a|\geqslant |b+c|\)，\(|b|\geqslant |c+a|\)，\(|c|\geqslant |a+b|\)，求证：\(a+b+c=0\)．
分析与证明 法一 设 \(a+b+c=m\)，则\[|a|\geqslant |m-a|,\]于是\[a^2\geqslant m^2-2ma+a^2,\]即\[m(2a-m)\geqslant 0,\]类似的，有\[m(2b-m)\geqslant 0,m(2c-m)\geqslant 0,\]三式相加可得\[m[(2a-m)+(2b-m)+(2c-m)]\geqslant 0,\]即\[-m^2\geqslant 0,\]于是 \(m=0\)，原命题得证．
法二 考虑到问题的对称性，不妨设 \(a,b,c\) 中非负数较多．
情形一 \(a,b,c\) 中有 \(3\) 个非负数，则 \(a+b+c\geqslant 0\)，且根据题意，有\[a+b+c\geqslant (b+c)+(c+a)+(a+b)=2(a+b+c),\]于是 \(a+b+c=0\)．
情形二 \(a,b,c\) 中有 \(2\) 个非负数，不妨设为 \(a,b\)，则此时第三个不等式即\[a+b+c\leqslant 0,\]于是\[b+c\leqslant -a\leqslant 0,\]因此由第一个不等式可得\[a\geqslant -(b+c),\]即\[a+b+c\geqslant 0,\]所以 \(a+b+c=0\)．
综上所述，原命题得证．