每日一题[108] 转换起点

如图所示，在三角形$ABC$和三角形$AEF$中，$B$是$EF$的中点，$AB=EF=1$，$BC=6$，$CA=\sqrt{33}$，若$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AE}+\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow{AF}=2$，则$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{BC}$夹角的余弦值为_______．

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正确的答案是$\dfrac 23$．

虽然题目给出的等式中的向量的起点统一为$A$，但所求却是以$B$为起点的$\langle \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BF}\rangle$，因此考虑将起点转化为$B$：

$$-\overrightarrow{BA}\cdot\left(\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{BA}\right)=2,$$ 化简得 $$2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=2.$$ 而 $$\begin{split}\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA}&=1,\\\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}&=BA\cdot BC\cdot\cos{\angle ABC}=2,\end{split}$$ 因此有 $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=2.$$ 于是所求余弦值为 $$\dfrac{\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}}{BC\cdot BF}=\dfrac 23.$$