每日一题[1062] P 子集

已知集合

$$A(n)=\left\{k\mid 1\leqslant k\leqslant \dfrac{3^n-1}{2},k\in\mathbb N^{\ast}\right\},$$ 其中$n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$．若存在非空集合 $S_1,S_2,\cdots,S_n$，使得 $A(n)=S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n$，且 $S_i\cap S_j=\varnothing$（$1\leqslant i<j\leqslant n$），并对任意 $x,y\in S_i$（$i=1,2,\cdots,n$），$x>y$，都有 $x-y\notin S_i$，则称集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，$S_i$（$i=1,2,\cdots,n$）称为集合 $A(n)$ 的 $P$ 子集．
(1)试说明集合 $A(2)$ 具有性质 $P$，并写出相应的 $P$ 子集 $S_1,S_2$；
(2)若集合 $A(n)$ 具有性质 $P$，集合 $T$ 是集合 $A(n)$ 的一个 $P$ 子集，设 $T'=\left\{s+3^n\mid s\in T\right\}$，求证：任意 $x,y\in T\cup T'$，$x>y$，都有 $x-y\notin T\cup T'$；
(3)求证：对任意正整数 $n\geqslant 2$，集合 $A(n)$ 具有性质 $P$．

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