每日一题[1060]内接正三角形

如图，在 $\triangle AOB$ 中，$\angle AOB=90^\circ$，$OA=1$，$OB=\sqrt 3$，等边 $\triangle EFG$ 的三个顶点分别在 $\triangle AOB$ 的三边上运动，则 $\triangle EFG$ 边长的最小值为（　　）

A．$\dfrac12$
B．$\dfrac 23$
C．$\dfrac{\sqrt{21}}7$
D．$\dfrac{\sqrt 6}4$

正确答案是C．

分析与解　设 $\triangle EFG$ 的边长为 $x$，$\angle EFO=\theta$，则 $\angle GFB=\dfrac{2\pi}3-\theta$，$\angle FGB=\dfrac{\pi}6+\theta$，在 $\triangle GFB$ 中应用正弦定理，有 $$\dfrac{GF}{\sin\angle GBF}=\dfrac{BF}{\sin\angle FGB},$$ 即 $$BF=GF\cdot \dfrac{\sin\angle GFB}{\sin\angle GBF}=2x\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right),$$ 因此由 $OF+FB=OB$ 可得 $$x\cos\theta+2x\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right)=\sqrt 3,$$ 解得 $$\begin{split}x&=\dfrac{\sqrt 3}{\cos \theta+2\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}6\right)}\\ &=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 3\sin\theta+2\cos\theta}\\ &\geqslant \dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 7}=\dfrac{\sqrt{21}}7,\end{split}$$ 等号当 $\theta=\arctan\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得．因此所求边长的最小值为 $\dfrac{\sqrt{21}}7$．