已知 \(f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{(x+1)^a}\)，其中 \(a>0\)．若 \(\forall x>0,f(x)<0\)，求实数 \(a\) 的取值范围．
正确答案是\(\left(0,\dfrac 12\right]\)．
分析与解 注意到\[f(x)=\dfrac 1a\ln (x+1)^a-\dfrac{(x+1)^{a\cdot \frac 1a}-1}{(x+1)^a},\]因此问题等价于\[\forall x>1,\dfrac 1a\ln x-\dfrac{x^{\frac 1a}-1}{x}<0,\]记 \(m=\dfrac 1a\)，且\[g(x)=m\ln x-x^{m-1}+\dfrac 1x,\]则函数 \(g(x)\) 的导函数\[g'(x)=\dfrac{mx-(m-1)x^m-1}{x^2},\]记 \(\varphi(x)=mx-(m-1)x^m-1\)，则其导函数\[\varphi'(x)=m\cdot \left[1-(m-1)x^{m-1}\right],\]考虑到 \(\varphi'(1)=m(2-m)\)，得到讨论分界点 \(m=2\)．
情形一 \(m\geqslant 2\)．当 \(x>1\) 时，有 \(\varphi'(x)<0\)，于是 \(\varphi(x)\) 单调递减，结合 \(\varphi(1)=0\)，可得 \(g'(x)<0\)， \(g(x)\) 单调递减，又 \(g(1)=0\)，于是 \(g(x)<0\)，符合题意．
情形二 \(1<m<2\)．函数 \(\varphi'(x)\) 有零点\[x_0=\left(\dfrac{1}{m-1}\right)^{\frac {1}{m-1}},\]因此函数 \(\varphi(x)\) 在 \((1,x_0)\) 上单调递增，进而可得在该区间上 \(g'(x)>0\)，因此 \(g(x)\) 在该区间上单调递增，结合 \(g(1)=0\)，可得\[g(x_0)>g(1)=0,\]矛盾．
情形三 \(0<m\leqslant 1\)．当 \(x>1\) 时，函数 \(\varphi'(x)>0\)，因此 \(\varphi(x)\) 单调递增，结合 \(\varphi(1)=0\)，可得 \(\varphi(x)>0\)，进而 \(g(x)\) 单调递增，结合 \(g(1)=0\)，可得\[g(x)>g(1)=0,\]矛盾．
综上所述，实数 \(m\) 的取值范围是 \([2,+\infty)\)，进而实数 \(a\) 的取值范围是 \(\left(0,\dfrac 12\right]\)．