每日一题[1059]抽丝剥茧

已知 f(x)=ln(x+1)x(x+1)a,其中 a>0.若 x>0,f(x)<0,求实数 a 的取值范围.


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正确答案是(0,12]

分析与解    注意到f(x)=1aln(x+1)a(x+1)a1a1(x+1)a,

因此问题等价于x>1,1alnxx1a1x<0,
m=1a,且g(x)=mlnxxm1+1x,
则函数 g(x) 的导函数g(x)=mx(m1)xm1x2,
φ(x)=mx(m1)xm1,则其导函数φ(x)=m[1(m1)xm1],
考虑到 φ(1)=m(2m),得到讨论分界点 m=2

情形一     m2.当 x>1 时,有 φ(x)<0,于是 φ(x) 单调递减,结合 φ(1)=0,可得 g(x)<0g(x) 单调递减,又 g(1)=0,于是 g(x)<0,符合题意.

情形二    1<m<2.函数 φ(x) 有零点x0=(1m1)1m1,

因此函数 φ(x)(1,x0) 上单调递增,进而可得在该区间上 g(x)>0,因此 g(x) 在该区间上单调递增,结合 g(1)=0,可得g(x0)>g(1)=0,
矛盾.

情形三     0<m1.当 x>1 时,函数 φ(x)>0,因此 φ(x) 单调递增,结合 φ(1)=0,可得 φ(x)>0,进而 g(x) 单调递增,结合 g(1)=0,可得g(x)>g(1)=0,

矛盾.

综上所述,实数 m 的取值范围是 [2,+),进而实数 a 的取值范围是 (0,12]

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