已知 f(x)=ln(x+1)−x(x+1)a,其中 a>0.若 ∀x>0,f(x)<0,求实数 a 的取值范围.
正确答案是(0,12].
分析与解 注意到f(x)=1aln(x+1)a−(x+1)a⋅1a−1(x+1)a,
因此问题等价于∀x>1,1alnx−x1a−1x<0,
记 m=1a,且g(x)=mlnx−xm−1+1x,
则函数 g(x) 的导函数g′(x)=mx−(m−1)xm−1x2,
记 φ(x)=mx−(m−1)xm−1,则其导函数φ′(x)=m⋅[1−(m−1)xm−1],
考虑到 φ′(1)=m(2−m),得到讨论分界点 m=2.
情形一 m⩾2.当 x>1 时,有 φ′(x)<0,于是 φ(x) 单调递减,结合 φ(1)=0,可得 g′(x)<0, g(x) 单调递减,又 g(1)=0,于是 g(x)<0,符合题意.
情形二 1<m<2.函数 φ′(x) 有零点x0=(1m−1)1m−1,
因此函数 φ(x) 在 (1,x0) 上单调递增,进而可得在该区间上 g′(x)>0,因此 g(x) 在该区间上单调递增,结合 g(1)=0,可得g(x0)>g(1)=0,
矛盾.
情形三 0<m⩽1.当 x>1 时,函数 φ′(x)>0,因此 φ(x) 单调递增,结合 φ(1)=0,可得 φ(x)>0,进而 g(x) 单调递增,结合 g(1)=0,可得g(x)>g(1)=0,
矛盾.
综上所述,实数 m 的取值范围是 [2,+∞),进而实数 a 的取值范围是 (0,12].