每日一题[1056]无招胜有招

已知坐标平面 $xOy$ 内椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点 $P(x_0,y_0)$，$F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，过 $F_1,F_2$ 作椭圆在 $P$ 点处切线的垂线，垂足分别为 $M,N$．

（1）求证：点 $M,N$ 在定圆上；
（2）求 $MF_1\cdot NF_2$ 的值．

---

分析与解    （1）设 $F_2$ 关于切线的对称点为 $F_2'$，连接 $F_1F_2'$，则 $F_1F_2'=2a$，进而 $ON=a$．同理 $OM=a$，因此点 $M,N$ 在定圆 $x^2+y^2=a^2$ 上．

（2）延长 $MF_1$ 交圆 $x^2+y^2=a^2$ 于点 $Q$，设椭圆的长轴端点分别为 $A,B$，则根据相交弦定理，可得

$$MF_1\cdot NF_2=MF_1\cdot F_1Q=AF_1\cdot F_1B=b^2.$$