函数 y=x+√x2−2x+3 的值域是_______.
正确答案是(1,+∞).
分析与解 法一
函数的定义域为 R,记 y=f(x) ,则有f(x)=x+√(x−1)2+2,于是当 x⩾1 时,函数 f(x) 单调递增;当 x<1 时,有f(x)=2√(x−1)2+2−(x−1)+1,于是 f(x) 亦单调递增.考虑到当 x→−∞ 时,f(x)→1,于是所求值域为 (1,+∞).
法二
令 x−1=√2tanθ,其中 θ∈(−π2,π2),则y=√2tanθ+1+√2⋅1cosθ=√2⋅1+sinθcosθ+1=tan(θ2+π4)+1,进而可得所求值域为 (1,+∞).
法三
函数 y=f(x) 的导函数f′(x)=(x−1)+√(x−1)2+2√x2−2x+3>0,于是函数 f(x) 在定义域 R 上单调递增.考虑到当 x→−∞ 时,f(x)→1,于是所求值域为 (1,+∞).
法四
根据题意,有(y−x)2=x2−2x+3,y⩾x,于是 x=y2−32y−2,进而y⩾y2−32y−2,解得 y>1,于是所求值域为 (1,+∞).
我明白了. 法四 直接分类讨论(y>1和y<1两种情形)即可. 谢谢!
我始终觉得“法四”是错的。不揣己陋学浅,抛出来再说。
倒是说错在哪?
觉得?
第四种方法确实耐人寻味!