每日一题[1055]一题多解求值域

函数 $y=x+\sqrt{x^2-2x+3}$ 的值域是_______．

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正确答案是$(1,+\infty)$．

分析与解    法一

函数的定义域为 $\mathbb R$，记 $y=f(x)$ ，则有

$$f(x)=x+\sqrt{(x-1)^2+2},$$ 于是当 $x\geqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增；当 $x<1$ 时，有 $$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{(x-1)^2+2}-(x-1)}+1,$$ 于是 $f(x)$ 亦单调递增．考虑到当 $x\to-\infty$ 时，$f(x)\to 1$，于是所求值域为 $(1,+\infty)$．

法二

令 $x-1=\sqrt 2\tan \theta$，其中 $\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，则

$$\begin{split}y=&\sqrt 2\tan\theta+1+\sqrt 2\cdot \dfrac{1}{\cos\theta}\\=&\sqrt 2\cdot \dfrac{1+\sin\theta}{\cos\theta}+1\\=&\tan\left(\dfrac{\theta}2+\dfrac{\pi}4\right)+1,\end{split}$$ 进而可得所求值域为 $(1,+\infty)$．

法三

函数 $y=f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{(x-1)+\sqrt{(x-1)^2+2}}{\sqrt{x^2-2x+3}}>0,$$ 于是函数 $f(x)$ 在定义域 $\mathbb R$ 上单调递增．考虑到当 $x\to-\infty$ 时，$f(x)\to 1$，于是所求值域为 $(1,+\infty)$．

法四

根据题意，有

$$(y-x)^2=x^2-2x+3,y\geqslant x,$$ 于是 $x=\dfrac{y^2-3}{2y-2}$，进而 $$y\geqslant \dfrac{y^2-3}{2y-2},$$ 解得 $y>1$，于是所求值域为 $(1,+\infty)$．