每日一题[1055]一题多解求值域

函数 y=x+x22x+3 的值域是_______.


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正确答案是(1,+)

分析与解    法一

函数的定义域为 R,记 y=f(x) ,则有f(x)=x+(x1)2+2,于是当 x1 时,函数 f(x) 单调递增;当 x<1 时,有f(x)=2(x1)2+2(x1)+1,于是 f(x) 亦单调递增.考虑到当 x 时,f(x)1,于是所求值域为 (1,+)

法二

x1=2tanθ,其中 θ(π2,π2),则y=2tanθ+1+21cosθ=21+sinθcosθ+1=tan(θ2+π4)+1,进而可得所求值域为 (1,+)

法三

函数 y=f(x) 的导函数f(x)=(x1)+(x1)2+2x22x+3>0,于是函数 f(x) 在定义域 R 上单调递增.考虑到当 x 时,f(x)1,于是所求值域为 (1,+)

法四

根据题意,有(yx)2=x22x+3,yx,于是 x=y232y2,进而yy232y2,解得 y>1,于是所求值域为 (1,+)

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每日一题[1055]一题多解求值域》有5条回应

  1. cbc123e说:

    我明白了. 法四 直接分类讨论(y>1和y<1两种情形)即可. 谢谢!

  2. cbc123e说:

    我始终觉得“法四”是错的。不揣己陋学浅,抛出来再说。

  3. zhangyule2015说:

    第四种方法确实耐人寻味!

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