每日一题[1051]三次函数的性质

已知函数 $f(x)=x^3+px^2+qx$ 与 $x$ 轴相切于点 $\left(x_0,0\right)$（$x_0\ne 0$），且极小值为 $-4$，则 $p+q$ 的值是（　　）

A．$12$
B．$13$
C．$15$
D．$16$

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正确答案是C．

分析与解　根据题意，$x=x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极大值点，$0$ 为其极大值，且有

$$f(x)=x\left(x-x_0\right)^2,$$ 其导函数 $$f'(x)=\left(x-x_0\right)\left(3x-x_0\right),$$ 因此函数 $f(x)$ 的极小值点为 $x=\dfrac 13x_0$，极小值为 $$f\left(\dfrac 13x_0\right)=\dfrac{4}{27}x_0^3=-4,$$ 解得 $x_0=-3$．进而可得 $$f(1)=1+p+q=(1-x_0)^2=16,$$ 于是 $p+q=15$．