如果存在 n 个整数 a1,a2,⋯,an，它们的和与乘积相等（n=1 时它们的和与积就是自身），即a1+a2+⋯+an=a1⋅a2⋯an,则称 n 具有性质 P．
(1)求证：所有正整数都具有性质 P；
(2)若存在 n 个整数 a1,a2,⋯,an，它们的和与乘积相等（n=1 时它们的和与积就是自身）且恰好等于 n，即a1+a2+⋯+an=a1⋅a2⋯an=n,则称 n 具有性质 Q，求所有具有性质 Q 的正整数构成的集合．
分析与解 (1)如果 n 具有性质 P，则 n+4 也具有性质 P，这是由于a1+a2+⋯+an+1+(−1)+1+(−1)=a1⋅a2⋯an⋅1⋅(−1)⋅1⋅(−1).而 n=1,2,3,4 都具有性质 P（(1),(2,2),(1,2,3),(1,1,2,4)），于是所有正整数都具有性质 P．
(2)设 k∈N，则
情形一 n=4k+1 时，可以分成 2k 个 −1，2k 个 1，1 个 4k+1．
情形二 n=8k 时，可以分成 2k 个 −1，6k−2 个 1，1 个 2，1 个 4k．
情形三 n=8k+12 时，可以分成 2k+1 个 −1，6k+9 个 1，1 个 −2，1 个 4k+6．
情形四 n=4 时，|ai|∈{1,2,4}，其中 i=1,2,3,4，且只有可能取 1 个 4 或 2 个 2，容易验证都不可行．
情形五 n=4k+2 时，由于a1⋅a2⋯an≡2(mod4),于是 a1,a2,⋯,an 为 1 个偶数和 4k+1 个奇数，它们的和为奇数，矛盾．
情形六 n=4k+3 时，a1,a2,⋯,an 为 4k+3 个奇数，设其中模 4 余 1 的有 m 个，模 4 余 3 的有 4k+3−m 个，因此a1+a2+⋯+an≡m−(4k+3−m)≡2m+1≡3(mod4),于是 m 为奇数，进而a1⋅a2⋯an≡1m⋅(−1)4k+3−m≡1(mod4),矛盾．
综上所述，所有具有性质 Q 的正整数构成的集合为{x∣x≡0,1,4,5(mod8),x≠4,x∈N∗}.
情形一 n=4k+1 时，可以分成 2k 个 −1，2k 个 1，1 个 4k+1．
情形二 n=8k 时，可以分成 2k 个 −1，6k−2 个 1，1 个 2，1 个 4k．
情形三 n=8k+12 时，可以分成 2k+1 个 −1，6k+9 个 1，1 个 −2，1 个 4k+6．
情形四 n=4 时，|ai|∈{1,2,4}，其中 i=1,2,3,4，且只有可能取 1 个 4 或 2 个 2，容易验证都不可行．
情形五 n=4k+2 时，由于a1⋅a2⋯an≡2(mod4),于是 a1,a2,⋯,an 为 1 个偶数和 4k+1 个奇数，它们的和为奇数，矛盾．
情形六 n=4k+3 时，a1,a2,⋯,an 为 4k+3 个奇数，设其中模 4 余 1 的有 m 个，模 4 余 3 的有 4k+3−m 个，因此a1+a2+⋯+an≡m−(4k+3−m)≡2m+1≡3(mod4),于是 m 为奇数，进而a1⋅a2⋯an≡1m⋅(−1)4k+3−m≡1(mod4),矛盾．
综上所述，所有具有性质 Q 的正整数构成的集合为{x∣x≡0,1,4,5(mod8),x≠4,x∈N∗}.