每日一题[1049]抓大放小

已知坐标平面 $xOy$ 上 $N$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的一个动点，平面内动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $|y_0|\geqslant 1$ 且 $\angle OMN=30^\circ$，则动点 $M$ 运动的区域面积是______．

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正确答案是$\dfrac{8\pi}3-2\sqrt 3$

分析与解　先不考虑$|y_0|\geqslant 1$的限制，考虑满足条件$\angle OMN=30^\circ$的点$M$：

选定 $N$ 后，点 $M$ 点在一个半径为 $\dfrac 12\cdot\dfrac{1}{\sin 30^\circ}=1$ 的圆的优弧上，且劣弧始终在单位圆内，$ON$ 该是圆的一条弦．如图：

容易得到点$M$所在的圆的圆心在单位圆上，于是直接考虑一个半径为 $1$ 的动圆，其圆心在单位圆 $x^2+y^2=1$ 上运动形成的轨迹，是一个以 $O$ 为圆心，$2$ 的半径的圆．于是得到 $M$ 点运动的区域为如图的阴影部分．
根据弓形面积公式，所求面积为

$$2\cdot \dfrac 12\left(\dfrac{2\pi}3-\sin\dfrac{2\pi}3\right)\cdot 2^2=\dfrac{8\pi}3-2\sqrt 3.$$