每日一题[1047]一目了然

已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，$AB$ 的平行线分别交 $AC,BC$ 于 $D,E$，连接 $BD$，$\triangle DCE,\triangle DBE,\triangle DBA$ 的面积分别记为 $S_1,S_2,S_3$，则（　　）A．$\max\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最小值为$\dfrac 13$
B．$\max\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最小值为$\dfrac{3-\sqrt 5}2$
C．$\min\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最大值为$\dfrac 13$
D．$\min\{S_1,S_2,S_3\}$ 的最大值为$\dfrac 14$

注　所有选择题默认是不定项选择．

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正确答案是BD．

分析与解　设 $\dfrac{CD}{CA}=\dfrac{CE}{CB}=x$，$x\in(0,1)$，则

$$\begin{split}S_1(x)&=x^2,\\S_2(x)&=x-x^2,\\S_3(x)&=1-x.\end{split}$$ 如图，$P$ 点为函数 $S_1(x)$ 与函数 $S_3(x)$ 图象的公共点，$Q$ 点为函数 $S_1(x)$ 与函数 $S_2(x)$ 图象的公共点，它们的坐标分别为 $$P\left(\dfrac{\sqrt 5-1}2,\dfrac{3-\sqrt 5}2\right),Q\left(\dfrac 12,\dfrac 14\right).$$