每日一题[1041]暗藏玄机

已知函数 $f(x)=\dfrac{\sin x+m}{\cos x+2}+n\cdot \tan x$ 的最大值与最小值之和为 $8$，则 $m+n$ 的值是_______．

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正确答案是$6$．

分析与解　因为 $\cos x+2\in [1,3]$，由函数 $f(x)$ 的有界性可得 $n=0$，接下来考虑

$$y=\dfrac{\sin x+m}{\cos x+2},$$ 即 $$\sin x-y\cos x=2y-m,$$ 因此 $$-1\leqslant \dfrac{2y-m}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant 1,$$ 也即 $$3y^2-4my+m^2-1\leqslant 0.$$ 根据题意，关于 $y$ 的方程 $$3y^2-4my+m^2-1=0$$ 的两根之和为 $8$，因此 $m=6$．经检验，函数 $$f(x)=\dfrac{\sin x+6}{\cos x+2},x\ne \dfrac{\pi}2+k\pi,k\in\mathbb Z$$ 的最大值和最小值之和为 $8$，因此 $m+n$ 的值为 $6$．

备注　函数$f(x)$的图象如下：