求证：存在无穷多组正整数 x,y,z 使得(x+y+z)2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx).
分析与证明 容易发现 (x,y,z)=(1,1,1) 是方程的一组解．
将其视为关于 x 的方程，可得x2−(3y+3z−2)x+(y2+z2+2y+2z−3yz)=0,
因此根据韦达定理，若该方程有正整数解 (x1,y1,z1)（x1⩽y1⩽z1），则必然有正整数解 (x′1,y1,z1)，其中x1+x′1=3y1+3z1−2.
将 (x′1,y1,z1) 重新从小到大排列为 (x2,y2,z2)，则由于x′1=3y1+3z1−2−x1>z1,
且x′1=3y1+3z1−2−x1>y1,
于是z2=x′1>z1,
然后继续上面的过程，得到新的解 (x3,y3,z3)，且z3>z2>z1,
依次类推，可以从 (1,1,1) 出发得到无数组正整数解，原命题得证．
注 例如可以由 (1,1,1) 得到 (3,1,1)，调整为 (1,1,3) 后得到 (9,1,3)，调整为 (1,3,9) 后得到 (33,3,9)，依次类推．